Números perfectos

En una clase de 1º de ESO de esta semana vimos un ejercicio del libro en el que se definía la noción de número perfecto y se pedía comprobar que 6 y 28 lo son. Por si alguno quedó interesado por estos números más allá del ejercicio, aquí os cuento de forma breve la historia de estos números.

Un número perfecto es aquel que es igual a la suma de sus divisores menores estrictos que él mismo. Por ejemplo, los divisores de 6 son 1,2,3 y 6  donde 6=1+2+3. Luego 6 es perfecto. El siguiente número perfecto es 28 ya que sus divisores son 1,2,4,7,14 y 28 donde 28=1+2+4+7+14.

La definición de número perfecto ha ido sufriendo variaciones a lo largo de la historia. El nombre de perfecto proviene de cuando a los números se les asociaban connotaciones y propiedades que no eran estrictamente matemáticas sino más bien místicas. Se tiene constancia de que la escuela matemática pitagórica (fundada por el matemático griego Pitágoras  528 a.C.-507 a.C.) ya denominaba así a determinados números que consideraban particularmente bellos o armoniosos.  Así, Pitágoras y sus discípulos observaron que la suma de los divisores de las potencias de dos (exceptuando la propia potencia) le faltaba exactamente una unidad para coincidir con la propia potencia. Por ejemplo:

• $2^1=2$ y sus divisores son 1,2. Por tanto  la suma de los menores que 2 es 1.
• $2^2=4$ y sus divisores son 1,2 y 4. Por tanto la suma de los menores que 4 es 1+2=3.
• $2^3=8$ y sus divisores son 1,2,4 y 8.  Por tanto la suma de los menores que 8 es 1+2+4=7.

Esto significaba que las potencias de 2 no eran los suficientemente "hermosas" como para considerarse números "perfectos".

Sin embargo, la definición tal y como lo hemos encontrado en el problema del libro no aparece esbozada hasta que Euclides (325 a.C.- 265 a.C.) publicó su famosa obra "Los Elementos". A partir de entonces, los números perfectos se han convertido en uno de los problemas más apasionantes de las matemáticas. Esto es así porque no son números fáciles de encontrar.

Los números perfectos pares sabemos que existen (6 y 28 son ejemplos que hemos visto más arriba). De hecho se sabe que cualquier otro número perfecto par debe acabar en 6 ó 28. Así, el tercer número perfecto es el 496 y el cuarto es 8128; pero, por ejemplo, el quinto no aparece hasta 33550336.

El propio Euclides observó que un número perfecto es siempre el producto de una potencia de 2 por la siguiente potencia de 2 menos 1: $6=2^1\cdot (2^2-1)$, $28=2^2\cdot (2^3-1)$, $496=2^4\cdot (2^5-1)$... Basándose en estas observaciones se han desarrollado métodos de búsqueda de números perfectos que tienen a algunos de los ordenadores más potentes del mundo entretenidos.

Estos métodos están relacionados con los números conocidos como primos de Marsanne. Este tipo de números los veremos en otra entrada.

Sin embargo hasta la fecha no se ha encontrado ningún número perfecto que sea impar, aunque tampoco se ha demostrado que no existan. Éste es por tanto un problema de aritmética abierto (en el sentido de que no ha sido resuelto) desde hace muchos años.

¿Quién sabe? A lo mejor uno entre vosotros encuentra uno...

Bueno, espero que os haya gustado este apéndice al problema de clase.

Saludos.