Círculos de área máxima (4º ESO op. B)

Supongamos que tenemos una cuerda de 8 metros y sujetamos los dos extremos al suelo con estacas de forma que quede tirante, formado un segmento. Ahora queremos cortar la cuerda por un punto de forma que atando una tiza a cada uno de los extremos que queden libres podamos, usando las estacas y los trozos de cuerda a modo de compás, dibujar dos circunferencias de tiza en el suelo.

¿Por dónde tendremos que cortar la cuerda  para que la suma de las áreas de los dos círculos de tiza sea la menor posible? 

IDEAS:

1. Observa que las circunferencias de tiza son tangentes precisamente en el punto donde cortamos la cuerda. Esto significa que los radios $x$ e $y$ de ambas circunferencia suman...
2. ¿Cuál sería el área de la circunferencia de radio $x$? ¿Y la de radio $y$? Internet puede ayudarte si no recuerdas la fórmula del área de un círculo.
3. ¿Podrías poner la suma de las dos áreas que has hallado en el apartado 2 en función de una sola variable ($x$ ó $y$)? Para ello utiliza el apartado 1.
4. Si consigues terminar el apartado 3, ¿puedes decir, sin representarla, que tipo de gráfica tiene asociada la función área? Si ya lo sabes, también sabrás dónde se encuentra el mínimo de esta función... ¡Calcúlalo!

Ánimo y suerte.

El punto de no retorno (4º op. B)

¿Habéis oído hablar alguna vez del punto de "no retorno"?

Veamos que significa con un ejemplo. Supongamos que tenemos un

avión que vuela desde una ciudad A (pongamos Madrid) a una ciudad B (pongamos Lima). El punto de no retorno es la máxima distancia a la que se puede viajar con la seguridad de tener el suficiente combustible para volver. Es decir, pasado ese punto, si hay algún problema en el avión no se podría dar la vuelta para volver a la ciudad A (Madrid) pues no llegaríamos por falta de combustible. Así que pasado el punto de no retorno, si hay algún problema más nos vale haber escuchado bien las instrucciones que los auxiliares de vuelo dan al principio sobre el uso de la mascarilla y el chaleco salvavidas. Aún así... :(

Supongamos que un avión tiene combustible para 4 horas de vuelo siempre que viaje a una velocidad constante de 250 Km/h sin viento.

Al despegar el piloto observa que lleva viento a favor de 80 km/h. ¿Cuál es la máxima distancia a la que puede volar con la seguridad de tener suficiente combustible para volver? 

IDEAS:

a) ¿Cuál es la velocidad de ida del avión con ese viento?

b) ¿Cuál sería la velocidad de vuelta que llevaría con ese viento?

c) Teniendo en cuenta lo que hayas obtenido en los apartados anteriores, puedes hallar las funciones del tiempo que dan la distancia al aeropuerto de partida dependiendo de si vamos de ida o de vuelta.

d) Con esas funciones a la vista, ¿Cuál sería el punto de no retorno?

PARA NOTA:

e) Si la velocidad del viento no fuera constante (100 Km/h); es decir, fuera variable, ¿en qué curva estarían los puntos de no retorno? ¿Qué tipo de curva es?

Musicales (4º op. B)

Si habéis estado alguna vez en Londres sabréis de la gran tradición que allí existe de representar musicales. Lo que sigue podría ser un ejemplo con dos de los musicales más famosos de la historia y que más tiempo se han mantenido en cartelera.

En un teatro de Londres con 650 localidades se ha representado el musical de "Los miserables" durante dos meses y el precio de las entradas era de 12 euros. Después se representó "El fantasma de la ópera", a 13,20 euros la entrada, para lo cual se desarrollaron nuevos efectos especiales que hicieron que fuera necesario ampliar el escenario y se eliminaron para ello 50 localidades.

a) ¿Qué recaudación se tendría con una representación de "Los miserables" si asistieran 632 espectadores? ¿Y con una representación de "El fantasma de la ópera"?

b) ¿Podrías hallar la función que nos facilitaría el calculo de la recaudación de las  representaciones de cada musical según el número de entradas vendidas? Si lo consigues represéntalas e indica cuál es su dominio y su recorrido.

c) ¿Sabrías calcular el número de espectadores que han asistido una noche a "Los miserables" si se han recaudado 6.600 euros? ¿Y en el caso de "El fantasma de la ópera" si se ha recaudado la misma cantidad?

d) ¿Qué precio le pondrías tú a las entradas de "El fantasma de la ópera" para que coincidiera la recaudación de los dos musicales si se vendieran todas las entradas?

Ya sabéis. Registrarlo en vuestro cuaderno como actividad de ampliación en la parte del tema de funciones para que lo pueda corregir cuando revise esa parte de vuestro cuaderno. Ánimo.