Números perfectos

En una clase de 1º de ESO de esta semana vimos un ejercicio del libro en el que se definía la noción de número perfecto y se pedía comprobar que 6 y 28 lo son. Por si alguno quedó interesado por estos números más allá del ejercicio, aquí os cuento de forma breve la historia de estos números.

Un número perfecto es aquel que es igual a la suma de sus divisores menores estrictos que él mismo. Por ejemplo, los divisores de 6 son 1,2,3 y 6  donde 6=1+2+3. Luego 6 es perfecto. El siguiente número perfecto es 28 ya que sus divisores son 1,2,4,7,14 y 28 donde 28=1+2+4+7+14.

La definición de número perfecto ha ido sufriendo variaciones a lo largo de la historia. El nombre de perfecto proviene de cuando a los números se les asociaban connotaciones y propiedades que no eran estrictamente matemáticas sino más bien místicas. Se tiene constancia de que la escuela matemática pitagórica (fundada por el matemático griego Pitágoras  528 a.C.-507 a.C.) ya denominaba así a determinados números que consideraban particularmente bellos o armoniosos.  Así, Pitágoras y sus discípulos observaron que la suma de los divisores de las potencias de dos (exceptuando la propia potencia) le faltaba exactamente una unidad para coincidir con la propia potencia. Por ejemplo:

• $2^1=2$ y sus divisores son 1,2. Por tanto  la suma de los menores que 2 es 1.
• $2^2=4$ y sus divisores son 1,2 y 4. Por tanto la suma de los menores que 4 es 1+2=3.
• $2^3=8$ y sus divisores son 1,2,4 y 8.  Por tanto la suma de los menores que 8 es 1+2+4=7.

Esto significaba que las potencias de 2 no eran los suficientemente "hermosas" como para considerarse números "perfectos".

Sin embargo, la definición tal y como lo hemos encontrado en el problema del libro no aparece esbozada hasta que Euclides (325 a.C.- 265 a.C.) publicó su famosa obra "Los Elementos". A partir de entonces, los números perfectos se han convertido en uno de los problemas más apasionantes de las matemáticas. Esto es así porque no son números fáciles de encontrar.

Los números perfectos pares sabemos que existen (6 y 28 son ejemplos que hemos visto más arriba). De hecho se sabe que cualquier otro número perfecto par debe acabar en 6 ó 28. Así, el tercer número perfecto es el 496 y el cuarto es 8128; pero, por ejemplo, el quinto no aparece hasta 33550336.

El propio Euclides observó que un número perfecto es siempre el producto de una potencia de 2 por la siguiente potencia de 2 menos 1: $6=2^1\cdot (2^2-1)$, $28=2^2\cdot (2^3-1)$, $496=2^4\cdot (2^5-1)$... Basándose en estas observaciones se han desarrollado métodos de búsqueda de números perfectos que tienen a algunos de los ordenadores más potentes del mundo entretenidos.

Estos métodos están relacionados con los números conocidos como primos de Marsanne. Este tipo de números los veremos en otra entrada.

Sin embargo hasta la fecha no se ha encontrado ningún número perfecto que sea impar, aunque tampoco se ha demostrado que no existan. Éste es por tanto un problema de aritmética abierto (en el sentido de que no ha sido resuelto) desde hace muchos años.

¿Quién sabe? A lo mejor uno entre vosotros encuentra uno...

Bueno, espero que os haya gustado este apéndice al problema de clase.

Saludos.

¿Dividir por cero?

Otra vez a vueltas con el cero.

A veces a los profesores nos parece que llegados a cierto curso hay cosas que ya están meridianamente claras. Sin embargo, en los tiempos que corren no se debe dar nada por supuesto ya que podemos encontrarnos con sorpresas desagradables. Sin embargo, la ventaja que tienen las matemáticas es que, principalmente debido a su estructura lógica, las lagunas de conocimiento acabarán saliendo a poco que uno rasque mínimamente en la superficie.

Expongo aquí como un problema de potencias entronca con un hecho esencial establecido en matemáticas y sin el cual el edificio de la aritmética tal y como lo conocemos no se puede sostener.

Trabajando el tema de potencias en clase de tercero de ESO discutimos qué ocurría con los números elevados a cero. Introduje el problema apoyándome en una de las propiedades que ya habíamos trabajado:

"Cuando se dividen potencias de la misma base, se deja la misma base y se restan los exponentes".

Siguiendo este camino me parecieron clarificadores ejemplos como el que sigue:

$$7^0=\frac{7^2}{7^2}=\frac{7^5}{7^5}=\frac{7^{12}}{7^{12}}$$

Puesto que cualquiera de las fracciones que figuran en el ejemplo anterior es "1" (al ser iguales numerador y denominador), parece lógico asignar a las potencias de la forma $a^0$ el valor "1".  Este razonamiento parecieron aceptarlo todos los alumnos sin demasiados problemas. Así que escribí en la pizarra la siguiente regla:

"$$a^0=1$$ si $a\neq 0$".

Algunos (los menos) preguntaron "¿por qué? ¿$0^0$ no es 1?

Entonces sugerí el mismo tipo de ejemplos con $0^0$. Así que "formalmente", simplemente usando los símbolos, escribí:

$$0^0=\frac{0^2}{0^2}=\frac{0^5}{0^5}=\frac{0^{12}}{0^{12}}=\frac{0}{0}$$

Casi todos llegaron a comprender, que el mismo valor que le asignáramos a $0^0$ debiera ser el mismo que el que le asignáramos a $\frac{0}{0}$. Y entonces aquí llega la pregunta clave:

¿Se puede dividir por "0"?

Yo esperaba que todos dijeran al unísono "¡No!" como algo ya archiconocido. Pero esto no fue así. Había gente dispuesta a dividir.

A mis alumnos:

La razón (la repito aquí para los alumnos que a pesar de las explicaciones todavía lo estén pensando) es que para encontrar un número $a$ tal que $\displaystyle\frac{0}{0}=a$ necesitamos que se cumpla que $a\cdot 0=0$ (por la definición de división). Puesto que cualquier número multiplicado por 0 es 0, $a$ podría ser cualquier número. Esto no sólo pasa con $\displaystyle\frac{0}{0}$ sino con cualquier división del tipo $\displaystyle\frac{b}{0}$ por el mismo razonamiento que antes.

Existe por tanto una indefinición en el caso de la división por 0 pues el resultado podría ser cualquier número. Si consintiéramos por tanto que se pudiera dividir por 0, se crearía un caos tremendo en la aritmética y las matemáticas dejarían de ser "exactas" (y útiles) puesto que el resultado de determinadas operaciones quedarían a la libre elección de las personas que las estuvieran haciendo en cada momento. Por ésto, desde edades tempranas se debe aprender que:

"No se puede dividir por cero"

que es la frase que yo esperaba que me dijerais.

Tal y como veréis en cursos posteriores, en lenguaje matemático se dice que $\displaystyle\frac{0}{0}$ es indeterminado. Por tanto, puesto que simbólicamente llegamos a la conclusión de que $\displaystyle\frac{0}{0}=0^0$, tenemos que $0^0$ también es indeterminado.

Como conclusión hemos aprendido que:

1.  No se puede dividir por 0 porque no está definida esta operación.
2. A $0^0$ no se le puede asociar 1 ya que es indeterminado al igual que $\displaystyle\frac{0}{0}$.
3. Y por tanto, la propiedad $a^0=1$ es válida siempre que la base $a$ sea distinta de cero.

Saludos.

Cálculo de divisores

Un ejercicio habitual en los primeros temas de 1º y 2º de ESO es el cálculo de todos los divisores de un número. No es fácil que los alumnos completen correctamente la lista aunque los números tengan una descomposición factorial en números primos sencilla.

Existe una forma muy curiosa de conseguir de manera sistemática que no se nos olvide ningún producto de primos y por tanto ningún divisor. Consiste en realizar un árbol exhaustivo de todas las posibles apariciones de cada factor según el exponente máximo con el que se encuentre en la descomposición. La hemos practicado con éxito en 2º de la ESO.

A mis alumnos:

Veamos un ejemplo. Si se pide que se calculen todos los divisores de 50, primero hemos de descomponer el número: $50=2\cdot 5^2$. Seguidamente hemos de obtener todos los posibles productos de estos números. Para eso tenemos en cuenta que en esas multiplicaciones el 2, puesto que el exponente que tiene es 1, puede aparecer como $2^0=1$ (es decir, no utilizarlo) y como $2^1=2$. Igualmente, 5 puede aparecer como $5^0, 5^1$ ó $5^2$. Así queda un árbol de la forma:

     $5^0$                      $5^1$                    $5^2$

  $2^0$   $2^1$               $2^0$   $2^1$             $2^0$     $2^1$

Ahora hacemos los productos siguiendo las ramas del árbol: $5^0\cdot 2^0=1$, $5^0\cdot 2^1=2$, $5^1\cdot 2^0=5$, $5^1\cdot 2^1=10$, $5^2\cdot 2^0=25$, $5^2\cdot 2^1=50$.

Veamos un interesante vídeo que he encontrado en You Tube sobre este procedimiento.

Con este método incluso se pueden hacer ejercicios con números que tengan bastantes primos en su descomposición factorial y conseguir que el ejercicio se complete correctamente.

Para los alumnos de 1º de ESO, sin embargo, mi experiencia me dice que este sistema no funciona, pues  no se entiende bien el por qué se deben variar los exponentes desde 0 hasta el exponente con el que el primo aparece en la descomposición. Creo que para este caso es mejor considerar números que no tengan más de 4 primos diferentes en la descomposición e insistir en hacer los 1-productos y 2-productos de los mismos.

Saludos.

¿$0\in \mathbb{N}$?

La pregunta que da título al post es recurrente en cada curso académico y la suelen hacer hacer muchos de mis alumnos. La respuesta rápida es sí, y eso es lo que aparece en la mayor parte de libros (por lo menos en todos los que he visto) de texto a nivel de secundaria. A pesar de esta unanimidad, es normal que surjan dudas pues, aunque no lo parezca, los matemáticos no han llegado a un consenso todavía. Y es que la respuesta depende de la construcción de los números naturales de la que se parta.

Históricamente los números naturales surgen de la inmediata necesidad que tiene el ser humano de contar (generalmente posesiones): 6 cabras, 2 vacas, 3 cerdos... No era de reseñar el no tener nada que contar, y es por esto por lo que el cero no apareció en principio de una forma tan "natural" como el resto de los números naturales. Así, durante mucho tiempo ni fue considerado un número y cuando empezó a pensarse en él como tal, se le vió como un número diferente del resto. Tanto es así, que en la famosa construcción rigurosa de los números naturales que presenta el matemático italiano Giuseppe Peano (1858-1932), el cero no se considera. Peano cimenta su construcción del conjunto de los naturales en cinco axiomas. Los axiomas son proposiciones que se consideran verdaderas de partida y que por tanto "nos creemos" que son ciertas sin ninguna demostración.

Todas las teorías matemáticas que se trabajan hoy en día se basan en un conjunto de axiomas ("verdades primeras") que se establecen y sobre los que se construyen todas las propiedades que relacionan a los objetos de esa teoría. En concreto, Peano establece sus axiomas manejando básicamente un número, un concepto y una operación: el uno ("1"), la idea de "siguiente" y la operación suma. En concreto los cinco axiomas (cinco verdades primeras) son:

1. El 1 es un número natural.
2. Si $n$ es un número natural, entonces el sucesor de $n$ también es un número natural.
3. El 1 no es el sucesor de ningún número natural.
4. Si hay dos números naturales $n$ y $m$ con el mismo sucesor, entonces $n$ y $m$ son el mismo número natural.
5. Si el 1 pertenece a un conjunto, y dado un número natural cualquiera, el sucesor de ese número también pertenece a ese conjunto, entonces todos los números naturales pertenecen a ese conjunto. Este es el axioma de inducción, y captura la idea de inducción matemática.

Por el primer axioma, suponemos que es verdad que el 1 es un número natural. En el axioma 2, el sucesor (siguiente) de un número $n$ se define como $n+1$. Esto es, el 2=1+1, el 3=2+1, el 4=3+1... y así sucesivamnente. De esta forma se define implícitamente un orden en los naturales, donde el primero de ellos es el 1 y todos los demás números se construyen a partir de éste. Además, el tercer axioma nos dice que no hay ningún número natural antes del 1, por lo que el cero queda fuera.

Esta visión fue en su momento la más extendida, y por ejemplo, ramas muy importantes de las matemáticas como la Teoría de Números sigue esta línea.

Sin embargo, existen otras construcciones de los números naturales en los que se parte directamente del cero. La más importante es la construcción de la Teoría de Conjuntos. En este marco, se considera que el cero es el número de elementos del conjunto vacío ($\varnothing$) cuya existencia es un axioma (verdad primera). El resto de los números se construye a partir del cero. Así, el 1 es el conjunto cuyo único elemento es el cero ($1=\{0\}$), el 2 es el conjunto cuyos elementos son el 0 y el 1 ($2=\{0,1\}$) y así sucesivamente. Aquí la idea de sucesor ("siguiente") de un número $n$, que aparecía en los axiomas de Peano, sería $n+1=n\cup \{n\}$.

De esta forma, las ramas de las matemáticas que siguen esta construcción sí consideran al cero un número natural. Esta tendencia se va imponiendo y hoy en día existen formulaciones de los axiomas de Peano que se retocan para incluir al cero como número natural.

Saludos

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