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Invitación

Este espacio web pretende ser una invitación para que los alumnos a los que doy clases en secundaria puedan asomarse a una ventana que muestre matemáticas incluso más allá de las limitaciones del currículum oficial. Un sitio distinto, donde se puedan aprender matemáticas que complementen el contenido que se estudia en las clases y que por una vez no estemos siempre pendiente de los mínimos (mínimas capacidades, mínimos contenidos, mínimos requisitos para aprobar, esfuerzo mínimo...) y veamos otras posibilidades que ofrecen las matemáticas a este nivel.

martes, 29 de abril de 2014

Cifrado César

El cifrado es una técnica utilizada para encriptar un mensaje de forma que únicamente el receptor deseado sea capaz de entenderlo. El cifrado del que vamos a hablar en esta entrada recibe el nombre de "cifrado César" porque era utilizado por el emperador romano Julio César para comunicarse con sus oficiales de forma segura.

Consiste en sustituir cada letra del mensaje que se pretende transmitir por aquella que se encuentra $n$ posiciones más hacia delante o hacia atrás en el alfabeto. Si, por ejemplo, $n=2$, la letra $A$ se sustituirá por la $C$, la $B$ por la $D$ y así sucesivamente. Si la letra es la $Z$, entonces se comenzará de nuevo el alfabeto y será sustituida por la $B$. Así, por ejemplo, la palabra "ZEN" pasaría a encriptarse como "BGO".  Los espacios en blanco de una frase no se tienen en cuenta en la encriptación. 

En este tipo de cifrado, el proceso general que consiste en sustituir una letra por otra que está un número de posiciones, $n$, más adelante en el alfabeto recibe el nombre de "algoritmo". El número $n$ concreto que se utiliza para singularizar el algoritmo recibe el nombre de "clave". Es evidente que conociendo el algoritmo y la clave se puede descifrar un mensaje encriptado.

Las funciones del cifrado César

Para matematizar este cifrado, asignamos a cada letra un número que consiste en su posición en el alfabeto. En el alfabeto castellano tenemos 27 posiciones. Si $x$ es la posición de la letra que queremos cifrar, la función $f$ que nos da la posición de la nueva letra en la que se va a convertir viene dada por la fórmula:

$f(x)=(x+n)\,mod\, p$

donde: 
  1. $p$ es el número de letras del alfabeto a usar. En nuestro caso, $p=27$.
  2. $x$ es el número asociado a la letra (1 para la $A$, 2 para la $B$, etc).
  3. $n$ es la clave. Por ejemplo podría ser $2$ como en el ejemplo de arriba.
  4. La expresión $a \, mod \, b $ se usa para indicar que se toma el resto de dividir $a$ por $b$.
Por ejemplo, si nuestra clave fuera $n=4$, tendríamos que la letra $A$ que tiene asociada la posición 1, pasaría a tener la posición $f(1)=(1+4)\, mod\, 27=5$ (resto de dividir 5 entre 27). La posición 5 se corresponde con la letra $E$, por lo que en cualquier mensaje que queramos cifrar cambiaremos la letra $A$ por la letra $E$.

Cuando recibamos el mensaje y queramos descifrarlo habrá que utilizar la fórmula inversa a la anterior:

$g(x)=(x-n)\,mod\, p$

Es decir, puesto que $n=4$ y $E$ está en la posición 5, tenemos que $g(5)=(5-4)\,mod\, 27=1$ y 1 es la posición de la letra $A$.

Preguntas

Consideremos la función de cifrado

$f(x)=(x+6)\,mod\, 27$

1.- Usando $f$, codifica la frase: "La suerte está echada". 
2.- Usando la inversa de $f$, decodifica la frase: "bñskbñebksiñ".
3.- ¿Sabrías explicar por qué es necesario el uso del resto ($mod$) en la fórmula de $f$?
4.- Busca en internet a quién se le atribuye las frases anteriores y en qué circunstancias.
5.- Busca una frase de un personaje histórico que te guste y codifícala usando $f$.

miércoles, 4 de abril de 2012

Círculos de área máxima (4º ESO op. B)

Supongamos que tenemos una cuerda de 8 metros y sujetamos los dos extremos al suelo con estacas de forma que quede tirante, formado un segmento. Ahora queremos cortar la cuerda por un punto de forma que atando una tiza a cada uno de los extremos que queden libres podamos, usando las estacas y los trozos de cuerda a modo de compás, dibujar dos circunferencias de tiza en el suelo.

¿Por dónde tendremos que cortar la cuerda  para que la suma de las áreas de los dos círculos de tiza sea la menor posible? 

IDEAS:
  1. Observa que las circunferencias de tiza son tangentes precisamente en el punto donde cortamos la cuerda. Esto significa que los radios $x$ e $y$ de ambas circunferencia suman...
  2. ¿Cuál sería el área de la circunferencia de radio $x$? ¿Y la de radio $y$? Internet puede ayudarte si no recuerdas la fórmula del área de un círculo.
  3. ¿Podrías poner la suma de las dos áreas que has hallado en el apartado 2 en función de una sola variable ($x$ ó $y$)? Para ello utiliza el apartado 1.
  4. Si consigues terminar el apartado 3, ¿puedes decir, sin representarla, que tipo de gráfica tiene asociada la función área? Si ya lo sabes, también sabrás dónde se encuentra el mínimo de esta función... ¡Calcúlalo!
Ánimo y suerte.

lunes, 26 de marzo de 2012

El punto de no retorno (4º op. B)

¿Habéis oído hablar alguna vez del punto de "no retorno"?

Veamos que significa con un ejemplo. Supongamos que tenemos un
avión que vuela desde una ciudad A (pongamos Madrid) a una ciudad B (pongamos Lima). El punto de no retorno es la máxima distancia a la que se puede viajar con la seguridad de tener el suficiente combustible para volver. Es decir, pasado ese punto, si hay algún problema en el avión no se podría dar la vuelta para volver a la ciudad A (Madrid) pues no llegaríamos por falta de combustible. Así que pasado el punto de no retorno, si hay algún problema más nos vale haber escuchado bien las instrucciones que los auxiliares de vuelo dan al principio sobre el uso de la mascarilla y el chaleco salvavidas. Aún así... :(

Supongamos que un avión tiene combustible para 4 horas de vuelo siempre que viaje a una velocidad constante de 250 Km/h sin viento.
Al despegar el piloto observa que lleva viento a favor de 80 km/h. ¿Cuál es la máxima distancia a la que puede volar con la seguridad de tener suficiente combustible para volver? 

IDEAS:

a) ¿Cuál es la velocidad de ida del avión con ese viento?
b) ¿Cuál sería la velocidad de vuelta que llevaría con ese viento?
c) Teniendo en cuenta lo que hayas obtenido en los apartados anteriores, puedes hallar las funciones del tiempo que dan la distancia al aeropuerto de partida dependiendo de si vamos de ida o de vuelta.
d) Con esas funciones a la vista, ¿Cuál sería el punto de no retorno?

PARA NOTA:

e) Si la velocidad del viento no fuera constante (100 Km/h); es decir, fuera variable, ¿en qué curva estarían los puntos de no retorno? ¿Qué tipo de curva es?

Musicales (4º op. B)

Si habéis estado alguna vez en Londres sabréis de la gran tradición que allí existe de representar musicales. Lo que sigue podría ser un ejemplo con dos de los musicales más famosos de la historia y que más tiempo se han mantenido en cartelera.

En un teatro de Londres con 650 localidades se ha representado el musical de "Los miserables" durante dos meses y el precio de las entradas era de 12 euros. Después se representó "El fantasma de la ópera", a 13,20 euros la entrada, para lo cual se desarrollaron nuevos efectos especiales que hicieron que fuera necesario ampliar el escenario y se eliminaron para ello 50 localidades.

a) ¿Qué recaudación se tendría con una representación de "Los miserables" si asistieran 632 espectadores? ¿Y con una representación de "El fantasma de la ópera"?

b) ¿Podrías hallar la función que nos facilitaría el calculo de la recaudación de las  representaciones de cada musical según el número de entradas vendidas? Si lo consigues represéntalas e indica cuál es su dominio y su recorrido.

c) ¿Sabrías calcular el número de espectadores que han asistido una noche a "Los miserables" si se han recaudado 6.600 euros? ¿Y en el caso de "El fantasma de la ópera" si se ha recaudado la misma cantidad?

d) ¿Qué precio le pondrías tú a las entradas de "El fantasma de la ópera" para que coincidiera la recaudación de los dos musicales si se vendieran todas las entradas?

Ya sabéis. Registrarlo en vuestro cuaderno como actividad de ampliación en la parte del tema de funciones para que lo pueda corregir cuando revise esa parte de vuestro cuaderno. Ánimo.

jueves, 3 de noviembre de 2011

El álgebra que se esconde en los folios (4º op. B)

El Instituto Alemán de Normalización fijó hace 100 años el tamaño estándar de los papeles que utilizamos hoy en día para los distintos tipos de folios o pósters. Estos tamaños de papel rectangular reciben distintos nombres que seguro que os suenan: DIN A0, DIN A1, DIN A2, DIN A3, DIN A4, DIN A5, etc...

DIN es la marca empresarial del instituto y se piensa que significa "Das Ist Norm"; algo así como "esta es la norma" en alemán.

La hoja de papel más grande es la de tamaño A0. Si el lado menor de un rectángulo A0 se coloca como base y se divide este papel en dos partes iguales, cortando por la línea paralela a la base que pasa por el punto medio de cualquiera de las alturas, obtenemos dos rectángulos de tamaño A1. Repitiendo el mismo proceso que con un A0 con uno de los A1, obtenemos dos papeles rectangulares de tamaño A2. Procediendo de esta forma salen todos los tamaños mencionados en el párrafo de la introducción.

La siguiente imagen ilustra el proceso descrito en el párrafo anterior.


Imagen obtenida de la web http://www.liberopublishing.com/

Problema:

1.- Si el lado pequeño de un A0 es $x$ y su altura es $\sqrt{2}$, ¿podrías expresar su diagonal en función de  $x$? 
2.- ¿Cómo se llama la expresión algebraica resultante? Indentifica sus elementos.
3.- ¿Podrías calcular en función de $x$ la diagonal de un A1? ¿y un A2? ¿y un A3?
4.- A la luz de los resultados anteriores, ¿te atreverías a pronosticar (sin hacer ninguna cuenta) cuál es la diagonal de un A4 en función de $x$?
5.- Si $x=84 \, cm$, ¿qué tendrías que hacer para calcular el valor exacto de la diagonal de un folio de cualquiera de los tamaños? Explícalo con palabras.
6.- Aplica el procedimiento que tu mismo has deducido en el apartado 5 para hallar el valor exacto de la diagonal de un folio A4. Toma para ello un valor de $\sqrt{2}$ aproximado a la milésima por redondeo.

NOTA: Durante todo el problema $x$ es lo que mide el lado pequeño de un papel tamaño A0.

¿Alguien se atreve?

viernes, 14 de octubre de 2011

Una de logaritmos (4º op. B)

Ayer planteamos en clase un problema que nadie resolvió en su momento. Rescato aquí ahora el mismo ejercicio como actividad complementaria a entregar antes del control del tema 1.

Problema:

Supongamos que estamos trabajando con los logaritmos y la calculadora deja de funcionarnos. Antes de que ocurriera esto, apuntamos en nuestro cuaderno que $\log 2=0,301$. Con este dato, calcula:

a)  $\log 5$  

Una vez tengamos el resultado de a), ¿podrías calcular los siguientes apartados?

b) $\log 0,0625$      c) $\log_5 4$

Por supuesto, puedes usar la calculadora para comprobar que los resultados que obtienes son correctos.

Ánimo y a trabajar.

martes, 24 de mayo de 2011

Un juego planteado a Pascal (Competencias 3a-V)

Antonie Gombaud (1607-1684) más conocido como el Caballero De Méré, asiduo de los juegos de azar, le planteó (en 1654)  a Blaise Pascal (1623-1662) varios problemas relacionados con apuestas en sus juegos. Pascal, a su vez, le solía comunicar estos problemas por carta a Pierre de Fermat (1601-1665). En la correspondencia que mantuvieron estos dos matemáticos, comentando las posibles soluciones a estos problemas, aparecen los fundamentos del cálculo de probabilidades tal y como lo hemos visto en las clases de esta unidad.

En concreto uno de los problemas más sencillos en los que trabajaron, tal y como estaba escrito en una carta de Pascal, es el siguiente:

Problema: Deseo averiguar si es o no ventajoso jugar apostando cantidades iguales a que por lo menos aparece un 6 en cuatro tiradas de un dado.

Pascal y Fermat resolvieron el problema. ¿Podrías resolverlo tú? ¿Qué aconsejarías al Caballero De Meré?