¿$0\in \mathbb{N}$?

La pregunta que da título al post es recurrente en cada curso académico y la suelen hacer hacer muchos de mis alumnos. La respuesta rápida es sí, y eso es lo que aparece en la mayor parte de libros (por lo menos en todos los que he visto) de texto a nivel de secundaria. A pesar de esta unanimidad, es normal que surjan dudas pues, aunque no lo parezca, los matemáticos no han llegado a un consenso todavía. Y es que la respuesta depende de la construcción de los números naturales de la que se parta.

Históricamente los números naturales surgen de la inmediata necesidad que tiene el ser humano de contar (generalmente posesiones): 6 cabras, 2 vacas, 3 cerdos... No era de reseñar el no tener nada que contar, y es por esto por lo que el cero no apareció en principio de una forma tan "natural" como el resto de los números naturales. Así, durante mucho tiempo ni fue considerado un número y cuando empezó a pensarse en él como tal, se le vió como un número diferente del resto. Tanto es así, que en la famosa construcción rigurosa de los números naturales que presenta el matemático italiano Giuseppe Peano (1858-1932), el cero no se considera. Peano cimenta su construcción del conjunto de los naturales en cinco axiomas. Los axiomas son proposiciones que se consideran verdaderas de partida y que por tanto "nos creemos" que son ciertas sin ninguna demostración.

Todas las teorías matemáticas que se trabajan hoy en día se basan en un conjunto de axiomas ("verdades primeras") que se establecen y sobre los que se construyen todas las propiedades que relacionan a los objetos de esa teoría. En concreto, Peano establece sus axiomas manejando básicamente un número, un concepto y una operación: el uno ("1"), la idea de "siguiente" y la operación suma. En concreto los cinco axiomas (cinco verdades primeras) son:

1. El 1 es un número natural.
2. Si $n$ es un número natural, entonces el sucesor de $n$ también es un número natural.
3. El 1 no es el sucesor de ningún número natural.
4. Si hay dos números naturales $n$ y $m$ con el mismo sucesor, entonces $n$ y $m$ son el mismo número natural.
5. Si el 1 pertenece a un conjunto, y dado un número natural cualquiera, el sucesor de ese número también pertenece a ese conjunto, entonces todos los números naturales pertenecen a ese conjunto. Este es el axioma de inducción, y captura la idea de inducción matemática.

Por el primer axioma, suponemos que es verdad que el 1 es un número natural. En el axioma 2, el sucesor (siguiente) de un número $n$ se define como $n+1$. Esto es, el 2=1+1, el 3=2+1, el 4=3+1... y así sucesivamnente. De esta forma se define implícitamente un orden en los naturales, donde el primero de ellos es el 1 y todos los demás números se construyen a partir de éste. Además, el tercer axioma nos dice que no hay ningún número natural antes del 1, por lo que el cero queda fuera.

Esta visión fue en su momento la más extendida, y por ejemplo, ramas muy importantes de las matemáticas como la Teoría de Números sigue esta línea.

Sin embargo, existen otras construcciones de los números naturales en los que se parte directamente del cero. La más importante es la construcción de la Teoría de Conjuntos. En este marco, se considera que el cero es el número de elementos del conjunto vacío ($\varnothing$) cuya existencia es un axioma (verdad primera). El resto de los números se construye a partir del cero. Así, el 1 es el conjunto cuyo único elemento es el cero ($1=\{0\}$), el 2 es el conjunto cuyos elementos son el 0 y el 1 ($2=\{0,1\}$) y así sucesivamente. Aquí la idea de sucesor ("siguiente") de un número $n$, que aparecía en los axiomas de Peano, sería $n+1=n\cup \{n\}$.

De esta forma, las ramas de las matemáticas que siguen esta construcción sí consideran al cero un número natural. Esta tendencia se va imponiendo y hoy en día existen formulaciones de los axiomas de Peano que se retocan para incluir al cero como número natural.