¿Dividir por cero?

Otra vez a vueltas con el cero.

A veces a los profesores nos parece que llegados a cierto curso hay cosas que ya están meridianamente claras. Sin embargo, en los tiempos que corren no se debe dar nada por supuesto ya que podemos encontrarnos con sorpresas desagradables. Sin embargo, la ventaja que tienen las matemáticas es que, principalmente debido a su estructura lógica, las lagunas de conocimiento acabarán saliendo a poco que uno rasque mínimamente en la superficie.

Expongo aquí como un problema de potencias entronca con un hecho esencial establecido en matemáticas y sin el cual el edificio de la aritmética tal y como lo conocemos no se puede sostener.

Trabajando el tema de potencias en clase de tercero de ESO discutimos qué ocurría con los números elevados a cero. Introduje el problema apoyándome en una de las propiedades que ya habíamos trabajado:

"Cuando se dividen potencias de la misma base, se deja la misma base y se restan los exponentes".

Siguiendo este camino me parecieron clarificadores ejemplos como el que sigue:

$$7^0=\frac{7^2}{7^2}=\frac{7^5}{7^5}=\frac{7^{12}}{7^{12}}$$

Puesto que cualquiera de las fracciones que figuran en el ejemplo anterior es "1" (al ser iguales numerador y denominador), parece lógico asignar a las potencias de la forma $a^0$ el valor "1".  Este razonamiento parecieron aceptarlo todos los alumnos sin demasiados problemas. Así que escribí en la pizarra la siguiente regla:

"$$a^0=1$$ si $a\neq 0$".

Algunos (los menos) preguntaron "¿por qué? ¿$0^0$ no es 1?

Entonces sugerí el mismo tipo de ejemplos con $0^0$. Así que "formalmente", simplemente usando los símbolos, escribí:

$$0^0=\frac{0^2}{0^2}=\frac{0^5}{0^5}=\frac{0^{12}}{0^{12}}=\frac{0}{0}$$

Casi todos llegaron a comprender, que el mismo valor que le asignáramos a $0^0$ debiera ser el mismo que el que le asignáramos a $\frac{0}{0}$. Y entonces aquí llega la pregunta clave:

¿Se puede dividir por "0"?

Yo esperaba que todos dijeran al unísono "¡No!" como algo ya archiconocido. Pero esto no fue así. Había gente dispuesta a dividir.

A mis alumnos:

La razón (la repito aquí para los alumnos que a pesar de las explicaciones todavía lo estén pensando) es que para encontrar un número $a$ tal que $\displaystyle\frac{0}{0}=a$ necesitamos que se cumpla que $a\cdot 0=0$ (por la definición de división). Puesto que cualquier número multiplicado por 0 es 0, $a$ podría ser cualquier número. Esto no sólo pasa con $\displaystyle\frac{0}{0}$ sino con cualquier división del tipo $\displaystyle\frac{b}{0}$ por el mismo razonamiento que antes.

Existe por tanto una indefinición en el caso de la división por 0 pues el resultado podría ser cualquier número. Si consintiéramos por tanto que se pudiera dividir por 0, se crearía un caos tremendo en la aritmética y las matemáticas dejarían de ser "exactas" (y útiles) puesto que el resultado de determinadas operaciones quedarían a la libre elección de las personas que las estuvieran haciendo en cada momento. Por ésto, desde edades tempranas se debe aprender que:

"No se puede dividir por cero"

que es la frase que yo esperaba que me dijerais.

Tal y como veréis en cursos posteriores, en lenguaje matemático se dice que $\displaystyle\frac{0}{0}$ es indeterminado. Por tanto, puesto que simbólicamente llegamos a la conclusión de que $\displaystyle\frac{0}{0}=0^0$, tenemos que $0^0$ también es indeterminado.

Como conclusión hemos aprendido que:

1.  No se puede dividir por 0 porque no está definida esta operación.
2. A $0^0$ no se le puede asociar 1 ya que es indeterminado al igual que $\displaystyle\frac{0}{0}$.
3. Y por tanto, la propiedad $a^0=1$ es válida siempre que la base $a$ sea distinta de cero.

Saludos.