El álgebra que se esconde en los folios (4º op. B)

El Instituto Alemán de Normalización fijó hace 100 años el tamaño estándar de los papeles que utilizamos hoy en día para los distintos tipos de folios o pósters. Estos tamaños de papel rectangular reciben distintos nombres que seguro que os suenan: DIN A0, DIN A1, DIN A2, DIN A3, DIN A4, DIN A5, etc...

DIN es la marca empresarial del instituto y se piensa que significa "Das Ist Norm"; algo así como "esta es la norma" en alemán.

La hoja de papel más grande es la de tamaño A0. Si el lado menor de un rectángulo A0 se coloca como base y se divide este papel en dos partes iguales, cortando por la línea paralela a la base que pasa por el punto medio de cualquiera de las alturas, obtenemos dos rectángulos de tamaño A1. Repitiendo el mismo proceso que con un A0 con uno de los A1, obtenemos dos papeles rectangulares de tamaño A2. Procediendo de esta forma salen todos los tamaños mencionados en el párrafo de la introducción.

La siguiente imagen ilustra el proceso descrito en el párrafo anterior.

Imagen obtenida de la web http://www.liberopublishing.com/

Problema:

1.- Si el lado pequeño de un A0 es $x$ y su altura es $\sqrt{2}$, ¿podrías expresar su diagonal en función de  $x$? 

2.- ¿Cómo se llama la expresión algebraica resultante? Indentifica sus elementos.

3.- ¿Podrías calcular en función de $x$ la diagonal de un A1? ¿y un A2? ¿y un A3?

4.- A la luz de los resultados anteriores, ¿te atreverías a pronosticar (sin hacer ninguna cuenta) cuál es la diagonal de un A4 en función de $x$?

5.- Si $x=84 \, cm$, ¿qué tendrías que hacer para calcular el valor exacto de la diagonal de un folio de cualquiera de los tamaños? Explícalo con palabras.

6.- Aplica el procedimiento que tu mismo has deducido en el apartado 5 para hallar el valor exacto de la diagonal de un folio A4. Toma para ello un valor de $\sqrt{2}$ aproximado a la milésima por redondeo.

NOTA: Durante todo el problema $x$ es lo que mide el lado pequeño de un papel tamaño A0.

¿Alguien se atreve?