Producto de números (Competencias 3a-IV)

En 1856 Alejandro Cossar publicó un libro en el que se recogían unas tablas con "los cuadrados de los números del 1 al 1.000 millones, con ayuda de la cual se halla el producto exacto de números...". Y se puede pensar, ¿para qué tanto cuadrado?

Hoy en día lo tenemos muy fácil; basta usar una calculadora o un ordenador para obtener inmediatamente el producto de dos números. Pero en la época de la publicación del libro que hemos comentado, estas comodidades no existían. Por lo tanto había que ingeniárselas para hacer los cálculos de la forma más rápida y precisa posible. Y para esto último estaba escrito el libro de Cossar, ya que utilizaba los cuadrados según la siguiente fórmula:

$$ a\cdot b=\frac{(a+b)^2-(a-b)^2}{4}\quad (I)$$

Así, si nos piden multiplicar $57.839\cdot 8.756$ y no tenemos calculadora pero sí la tabla de cuadrados, basta aplicar la fórmula anterior para $a=57.839$ y $b=8.756$. Entonces,

$a+b=66.596,\quad a-b=49.083$

Así, si miramos en el libro los cuadrados, tenemos que

$66.596^2=4.434.894.025,\quad 49.083^2=2.409.140.889$

Restando ambos números y dividiendo por 4 (según la fórmula (I)) obtenemos

$57.839\cdot 8.756=506.438.284$

siendo este proceso  más rápido que multiplicar ambos números por el algoritmo de multiplicación habitual.

PROBLEMA: 

1) Practica con la fórmula con ejemplos que tú mismo te pongas.

2) Demuestra que la fórmula (I) es correcta para cualesquiera dos números $a,b\in \mathbb{R}$.

Podéis entregar la solución de este problema en clase y obtendréis una nota más a contar para la evaluación del segundo trimestre.

Saludos cordiales.