Páginas

Invitación

Este espacio web pretende ser una invitación para que los alumnos a los que doy clases en secundaria puedan asomarse a una ventana que muestre matemáticas incluso más allá de las limitaciones del currículum oficial. Un sitio distinto, donde se puedan aprender matemáticas que complementen el contenido que se estudia en las clases y que por una vez no estemos siempre pendiente de los mínimos (mínimas capacidades, mínimos contenidos, mínimos requisitos para aprobar, esfuerzo mínimo...) y veamos otras posibilidades que ofrecen las matemáticas a este nivel.

martes, 29 de abril de 2014

Cifrado César

El cifrado es una técnica utilizada para encriptar un mensaje de forma que únicamente el receptor deseado sea capaz de entenderlo. El cifrado del que vamos a hablar en esta entrada recibe el nombre de "cifrado César" porque era utilizado por el emperador romano Julio César para comunicarse con sus oficiales de forma segura.

Consiste en sustituir cada letra del mensaje que se pretende transmitir por aquella que se encuentra $n$ posiciones más hacia delante o hacia atrás en el alfabeto. Si, por ejemplo, $n=2$, la letra $A$ se sustituirá por la $C$, la $B$ por la $D$ y así sucesivamente. Si la letra es la $Z$, entonces se comenzará de nuevo el alfabeto y será sustituida por la $B$. Así, por ejemplo, la palabra "ZEN" pasaría a encriptarse como "BGO".  Los espacios en blanco de una frase no se tienen en cuenta en la encriptación. 

En este tipo de cifrado, el proceso general que consiste en sustituir una letra por otra que está un número de posiciones, $n$, más adelante en el alfabeto recibe el nombre de "algoritmo". El número $n$ concreto que se utiliza para singularizar el algoritmo recibe el nombre de "clave". Es evidente que conociendo el algoritmo y la clave se puede descifrar un mensaje encriptado.

Las funciones del cifrado César

Para matematizar este cifrado, asignamos a cada letra un número que consiste en su posición en el alfabeto. En el alfabeto castellano tenemos 27 posiciones. Si $x$ es la posición de la letra que queremos cifrar, la función $f$ que nos da la posición de la nueva letra en la que se va a convertir viene dada por la fórmula:

$f(x)=(x+n)\,mod\, p$

donde: 
  1. $p$ es el número de letras del alfabeto a usar. En nuestro caso, $p=27$.
  2. $x$ es el número asociado a la letra (1 para la $A$, 2 para la $B$, etc).
  3. $n$ es la clave. Por ejemplo podría ser $2$ como en el ejemplo de arriba.
  4. La expresión $a \, mod \, b $ se usa para indicar que se toma el resto de dividir $a$ por $b$.
Por ejemplo, si nuestra clave fuera $n=4$, tendríamos que la letra $A$ que tiene asociada la posición 1, pasaría a tener la posición $f(1)=(1+4)\, mod\, 27=5$ (resto de dividir 5 entre 27). La posición 5 se corresponde con la letra $E$, por lo que en cualquier mensaje que queramos cifrar cambiaremos la letra $A$ por la letra $E$.

Cuando recibamos el mensaje y queramos descifrarlo habrá que utilizar la fórmula inversa a la anterior:

$g(x)=(x-n)\,mod\, p$

Es decir, puesto que $n=4$ y $E$ está en la posición 5, tenemos que $g(5)=(5-4)\,mod\, 27=1$ y 1 es la posición de la letra $A$.

Preguntas

Consideremos la función de cifrado

$f(x)=(x+6)\,mod\, 27$

1.- Usando $f$, codifica la frase: "La suerte está echada". 
2.- Usando la inversa de $f$, decodifica la frase: "bñskbñebksiñ".
3.- ¿Sabrías explicar por qué es necesario el uso del resto ($mod$) en la fórmula de $f$?
4.- Busca en internet a quién se le atribuye las frases anteriores y en qué circunstancias.
5.- Busca una frase de un personaje histórico que te guste y codifícala usando $f$.

No hay comentarios:

Publicar un comentario