Matemáticas Aplicadas 3º y 4º ESO: Repaso sobre Parábolas.

REPASO SOBRE PARÁBOLAS

MATEMÁTICAS APLICADAS

3º Y 4º DE ESO

Algunos alumnos habían pedido aplazar el tiempo para la entrega de los ejercicios sobre parábolas porque no los entendían bien. El nuevo plazo de entrega es hasta el miércoles 29 de abril de 2020.

Además publico aquí un nuevo vídeo a modo de repaso donde nuevamente abordamos los ejercicios más típicos sobre parábolas y algunos problemas de aplicación muy parecidos a los que aparecen en las hojas de ejercicios que tenéis que hacer.

Visualizar el vídeo pausadamente tantas veces como sea necesario conforme vais haciendo los ejercicios en vuestro cuaderno.  Aunque los números cambian los procedimientos son iguales.

VÍDEO: Repaso de ejercicios básicos de parábolas y problemas de aplicación.

Ánimo a todos y buen trabajo.

Matemáticas Aplicadas 3º ESO: Recuperación 1ª y 2ª evaluación.

RECUPERACIÓN DE LA 1ª Y LA 2ª EVALUACIÓN

MATEMÁTICAS APLICADAS (3º ESO)

Para recuperar los aprendizajes no superados de la 1ª y de la 2ª evaluación se debe realizar un trabajo de la evaluación correspondiente en el cuaderno de clase, hacerle unas fotografías y entregarlo así a través del correo electrónico que os he facilitado para ello. La nota se completará con la de un examen que se realizará en junio si tenemos la posibilidad de regresar al centro. El trabajo de la 2ª evaluación debe entregarse como muy tarde el 15 de mayo de 2020 y para el trabajo de la 1ª evaluación se tiene hasta el 5 de junio de 2020.

Aquí os presento las hojas de ejercicios que hay que realizar en cada caso. Las podéis descargar picando con el botón izquierdo del ratón sobre cada uno de los enlaces facilitados.

EJERCICIOS DE RECUPERACIÓN (2ª EVALUACIÓN).   

EJERCICIOS DE RECUPERACIÓN (1ª EVALUACIÓN).  

Antes de realizar los ejercicios os recomiendo que visualicéis los cinco vídeos que os adjunto seguidamente. En ellos tenéis un repaso que incide en los conceptos básicos trabajados en las clases presenciales de ambas evaluaciones. Además podéis consultar vuestros apuntes de clase y vuestro libro de texto.

REPASO DE LA 2ª EVALUACIÓN

VÍDEO 1: Repaso de ideas básicas sobre polinomios.

 

VÍDEO 2: Repaso de resolución de ecuaciones de primer y segundo grado.

VÍDEOS 3: Repaso de resolución de sistemas de ecuaciones lineales.

VÍDEO 4: Repaso de resolución de problemas mediante el planteamiento de ecuaciones de primer grado, segundo grado y sistemas de ecuaciones.

REPASO DE LA 1ª EVALUACIÓN

VÍDEO 5: Ejercicios y problemas esenciales sobre números y sus aplicaciones.

Ánimo y buena disposición de trabajo para todos.

Matemáticas Aplicadas 3º y 4º ESO: PARÁBOLAS (FUNCIONES 3ª PARTE)

TRABAJO PARA LA SEMANA

DEL 20 AL 24 DE ABRIL DE 2020

En esta entrada trabajaremos un tipo especial de función: las parábolas (para 3º y 4º de ESO). Al final de esta entrada de la bitácora podéis encontrar una relación de ejercicios para cada curso que se podrá entregar resuelta al correo electrónico del profesor hasta el viernes 24 de abril de 2020. Se recomienda ver los tres vídeos explicativos antes de intentar hacer los ejercicios.

PARÁBOLAS (3º y 4º de ESO)

Las parábolas son funciones que vienen dadas por la fórmula $y=ax^2+bx+c$ donde $a, b$ y $c$ son tres números reales cualesquiera. Un parábola es un polinomio de grado $2$; a diferencia de las rectas que eran polinomios de grado $1$. El signo de $a$ es importante pues si $a>0$ la parábola tiene forma de U y si $a<0$ tiene la forma de U invertida: $\cap$. El mínimo de la parábola, o el máximo en el segundo caso, recibe el nombre de vértice de la parábola. El valor del número $a$ está relacionado con la apertura de las ramas de la parábola; es decir, a mayor valor de $a$ más "abierta" estará la U. El número $b$ se vincula con la posición que ocupa el vértice de la parábola en unos ejes de coordenadas y el número $c$ es la altura a la que la parábola corta al eje $OY$. En los siguientes dos vídeos se explican las ideas básicas de este tipo de funciones detenidamente.

En los siguientes tres vídeos se explica todo esto detenidamente.

VÍDEO 1: Parábola. Descripción de sus elementos y representación gráfica.

VÍDEO 2: Representación de una parábola y aplicación a la vida cotidiana.

VÍDEO 3: Resolución de ejercicios típicos de parábolas y problemas de aplicación.

En los enlaces siguientes tenéis una hoja de ejercicios para cada curso (3º y 4º de ESO) muy parecidos a los ejercicios tratados en el vídeo número tres. Debéis resolverlos en vuestro cuaderno de clase. Luego le hacéis una fotografía y la enviáis al correo electrónico que todos tenéis y que os he proporcionado para esto.

Para descargar las relaciones de ejercicios debéis pinchar sobre los enlaces con el botón izquierdo del ratón. El plazo de entrega termina el viernes 24 de abril de 2020.

HOJA DE EJERCICIOS (3º ESO)   (<-- pinchar aquí con el botón izquierdo del ratón)

HOJA DE EJERCICIOS (4º ESO)   (<-- pinchar aquí con el botón izquierdo del ratón)

Ánimo a todos y buena semana de trabajo.

Matemáticas Aplicadas 3º y 4º ESO: RECTAS (FUNCIONES 2º PARTE)

TRABAJO PARA LA SEMANA

DEL 14 AL 17 DE ABRIL DE 2020

RECTAS (3º y 4º de ESO)

Continuamos el tema de funciones repasando los últimos contenidos que vimos antes de que se suspendieran las clases presenciales: la función recta. En clase aprendimos que la ecuación de una recta viene dada por la fórmula $y=ax+b$ donde $a$ y $b$ son dos números reales cualesquiera. El número $a$ es la pendiente de la recta y el número $b$ es la altura a la que la recta corta al eje $OY$. 

Seguidamente adjunto tres vídeos sobre rectas. El primer y segundo vídeo repasan ideas ya vistas en las clases presenciales. El primer vídeo versa sobre los conceptos fundamentales que se trabajan con las rectas y el segundo vídeo muestra un problema de aplicación a la vida cotidiana de este tipo de función. 

VÍDEO 1: La recta.

VÍDEO 2: Un problema de aplicación.

En el tercer vídeo trabajamos cinco ejercicios sobre los contenidos básicos que debemos manejar sobre rectas.

VÍDEO 3: Ejercicios y problemas básicos con rectas.

En los enlaces siguientes tenéis una hoja de ejercicios para cada curso (3º y 4º de ESO) muy parecidos todos a los ejercicios tratados en el vídeo número tres. Debéis resolverlos en vuestro cuaderno de clase. Luego le hacéis una fotografía y la enviáis al correo electrónico que todos tenéis y que os he proporcionado para esto.

Para descargar las relaciones de ejercicios debéis pinchar sobre los enlaces con el botón izquierdo del ratón. El plazo de entrega termina el viernes 17 de abril de 2020.

HOJA DE EJERCICIOS (3º ESO)   (<-- pinchar aquí con el botón izquierdo del ratón)

HOJA DE EJERCICIOS (4º ESO)   (<-- pinchar aquí con el botón izquierdo del ratón)

Ánimo a todos y buena semana de trabajo.

NOTA: En esta entrada del blog han aparecido ejercicios nuevos que no habíamos trabajado en clase (vídeo 3) y a partir de ahora esto ocurrirá en cada nueva entrada que se publique. Os animo a todos a que no dejéis trabajo sin entregar porque penséis que lo habéis hecho mal o que no sabéis hacer los ejercicios y problemas. Podéis preguntar dudas a través del correo electrónico o en los comentarios del blog.

Matemáticas Aplicadas 3º y 4º ESO: FUNCIONES (1ª PARTE)

TRABAJO PARA LA SEMANA

DEL 30 DE MARZO AL 3 DE ABRIL DE 2020

Tanto en 3º como en 4º de ESO de Matemáticas Aplicadas empezamos a ver el tema de funciones antes de que las clases se cortaran de forma presencial. Os adjunto aquí un par de vídeos explicativos del concepto de función y sus elementos para que recordéis lo último que vimos en clase. Después, al final, adjunto las relaciones de ejercicios que tenéis que hacer para esta semana.

VÍDEO 1: Concepto de función.

VÍDEO 2: Elementos de una función.

EJERCICIOS: Basándonos en estos conceptos que hemos recordado con los vídeos anteriores podéis trabajar los ejercicios que aparecen en los siguientes documentos pdf que podéis ver sin más que pinchar sobre ellos con el ratón. Hay una relación de ejercicios para 4º de ESO y otra para 3º de ESO. El plazo para entregar estos ejercicios es hasta el viernes 3 de abril de 2020.

EJERCICIOS 3º ESO (<-- pinchar con el ratón ahí)

EJERCICIOS 4º ESO  (<-- pinchar con el ratón ahí)                    

Buenas semana a todos. Ánimo.

Cifrado César

El cifrado es una técnica utilizada para encriptar un mensaje de forma que únicamente el receptor deseado sea capaz de entenderlo. El cifrado del que vamos a hablar en esta entrada recibe el nombre de "cifrado César" porque era utilizado por el emperador romano Julio César para comunicarse con sus oficiales de forma segura.

Consiste en sustituir cada letra del mensaje que se pretende transmitir por aquella que se encuentra $n$ posiciones más hacia delante o hacia atrás en el alfabeto. Si, por ejemplo, $n=2$, la letra $A$ se sustituirá por la $C$, la $B$ por la $D$ y así sucesivamente. Si la letra es la $Z$, entonces se comenzará de nuevo el alfabeto y será sustituida por la $B$. Así, por ejemplo, la palabra "ZEN" pasaría a encriptarse como "BGO".  Los espacios en blanco de una frase no se tienen en cuenta en la encriptación. 

En este tipo de cifrado, el proceso general que consiste en sustituir una letra por otra que está un número de posiciones, $n$, más adelante en el alfabeto recibe el nombre de "algoritmo". El número $n$ concreto que se utiliza para singularizar el algoritmo recibe el nombre de "clave". Es evidente que conociendo el algoritmo y la clave se puede descifrar un mensaje encriptado.

Las funciones del cifrado César

Para matematizar este cifrado, asignamos a cada letra un número que consiste en su posición en el alfabeto. En el alfabeto castellano tenemos 27 posiciones. Si $x$ es la posición de la letra que queremos cifrar, la función $f$ que nos da la posición de la nueva letra en la que se va a convertir viene dada por la fórmula:

$f(x)=(x+n)\,mod\, p$

donde: 

1. $p$ es el número de letras del alfabeto a usar. En nuestro caso, $p=27$.
2. $x$ es el número asociado a la letra (1 para la $A$, 2 para la $B$, etc).
3. $n$ es la clave. Por ejemplo podría ser $2$ como en el ejemplo de arriba.
4. La expresión $a \, mod \, b $ se usa para indicar que se toma el resto de dividir $a$ por $b$.

Por ejemplo, si nuestra clave fuera $n=4$, tendríamos que la letra $A$ que tiene asociada la posición 1, pasaría a tener la posición $f(1)=(1+4)\, mod\, 27=5$ (resto de dividir 5 entre 27). La posición 5 se corresponde con la letra $E$, por lo que en cualquier mensaje que queramos cifrar cambiaremos la letra $A$ por la letra $E$.

Cuando recibamos el mensaje y queramos descifrarlo habrá que utilizar la fórmula inversa a la anterior:

$g(x)=(x-n)\,mod\, p$

Es decir, puesto que $n=4$ y $E$ está en la posición 5, tenemos que $g(5)=(5-4)\,mod\, 27=1$ y 1 es la posición de la letra $A$.

Preguntas

Consideremos la función de cifrado

$f(x)=(x+6)\,mod\, 27$

1.- Usando $f$, codifica la frase: "La suerte está echada". 

2.- Usando la inversa de $f$, decodifica la frase: "bñskbñebksiñ".

3.- ¿Sabrías explicar por qué es necesario el uso del resto ($mod$) en la fórmula de $f$?

4.- Busca en internet a quién se le atribuye las frases anteriores y en qué circunstancias.

5.- Busca una frase de un personaje histórico que te guste y codifícala usando $f$.

Círculos de área máxima (4º ESO op. B)

Supongamos que tenemos una cuerda de 8 metros y sujetamos los dos extremos al suelo con estacas de forma que quede tirante, formado un segmento. Ahora queremos cortar la cuerda por un punto de forma que atando una tiza a cada uno de los extremos que queden libres podamos, usando las estacas y los trozos de cuerda a modo de compás, dibujar dos circunferencias de tiza en el suelo.

¿Por dónde tendremos que cortar la cuerda  para que la suma de las áreas de los dos círculos de tiza sea la menor posible? 

IDEAS:

1. Observa que las circunferencias de tiza son tangentes precisamente en el punto donde cortamos la cuerda. Esto significa que los radios $x$ e $y$ de ambas circunferencia suman...
2. ¿Cuál sería el área de la circunferencia de radio $x$? ¿Y la de radio $y$? Internet puede ayudarte si no recuerdas la fórmula del área de un círculo.
3. ¿Podrías poner la suma de las dos áreas que has hallado en el apartado 2 en función de una sola variable ($x$ ó $y$)? Para ello utiliza el apartado 1.
4. Si consigues terminar el apartado 3, ¿puedes decir, sin representarla, que tipo de gráfica tiene asociada la función área? Si ya lo sabes, también sabrás dónde se encuentra el mínimo de esta función... ¡Calcúlalo!

Ánimo y suerte.