Matemáticas Aplicadas 3º y 4º ESO: PARÁBOLAS (FUNCIONES 3ª PARTE)

TRABAJO PARA LA SEMANA

DEL 20 AL 24 DE ABRIL DE 2020

En esta entrada trabajaremos un tipo especial de función: las parábolas (para 3º y 4º de ESO). Al final de esta entrada de la bitácora podéis encontrar una relación de ejercicios para cada curso que se podrá entregar resuelta al correo electrónico del profesor hasta el viernes 24 de abril de 2020. Se recomienda ver los tres vídeos explicativos antes de intentar hacer los ejercicios.

PARÁBOLAS (3º y 4º de ESO)

Las parábolas son funciones que vienen dadas por la fórmula $y=ax^2+bx+c$ donde $a, b$ y $c$ son tres números reales cualesquiera. Un parábola es un polinomio de grado $2$; a diferencia de las rectas que eran polinomios de grado $1$. El signo de $a$ es importante pues si $a>0$ la parábola tiene forma de U y si $a<0$ tiene la forma de U invertida: $\cap$. El mínimo de la parábola, o el máximo en el segundo caso, recibe el nombre de vértice de la parábola. El valor del número $a$ está relacionado con la apertura de las ramas de la parábola; es decir, a mayor valor de $a$ más "abierta" estará la U. El número $b$ se vincula con la posición que ocupa el vértice de la parábola en unos ejes de coordenadas y el número $c$ es la altura a la que la parábola corta al eje $OY$. En los siguientes dos vídeos se explican las ideas básicas de este tipo de funciones detenidamente.

En los siguientes tres vídeos se explica todo esto detenidamente.

VÍDEO 1: Parábola. Descripción de sus elementos y representación gráfica.

VÍDEO 2: Representación de una parábola y aplicación a la vida cotidiana.

VÍDEO 3: Resolución de ejercicios típicos de parábolas y problemas de aplicación.

En los enlaces siguientes tenéis una hoja de ejercicios para cada curso (3º y 4º de ESO) muy parecidos a los ejercicios tratados en el vídeo número tres. Debéis resolverlos en vuestro cuaderno de clase. Luego le hacéis una fotografía y la enviáis al correo electrónico que todos tenéis y que os he proporcionado para esto.

Para descargar las relaciones de ejercicios debéis pinchar sobre los enlaces con el botón izquierdo del ratón. El plazo de entrega termina el viernes 24 de abril de 2020.

HOJA DE EJERCICIOS (3º ESO)   (<-- pinchar aquí con el botón izquierdo del ratón)

HOJA DE EJERCICIOS (4º ESO)   (<-- pinchar aquí con el botón izquierdo del ratón)

Ánimo a todos y buena semana de trabajo.

Matemáticas Aplicadas 3º y 4º ESO: RECTAS (FUNCIONES 2º PARTE)

TRABAJO PARA LA SEMANA

DEL 14 AL 17 DE ABRIL DE 2020

RECTAS (3º y 4º de ESO)

Continuamos el tema de funciones repasando los últimos contenidos que vimos antes de que se suspendieran las clases presenciales: la función recta. En clase aprendimos que la ecuación de una recta viene dada por la fórmula $y=ax+b$ donde $a$ y $b$ son dos números reales cualesquiera. El número $a$ es la pendiente de la recta y el número $b$ es la altura a la que la recta corta al eje $OY$. 

Seguidamente adjunto tres vídeos sobre rectas. El primer y segundo vídeo repasan ideas ya vistas en las clases presenciales. El primer vídeo versa sobre los conceptos fundamentales que se trabajan con las rectas y el segundo vídeo muestra un problema de aplicación a la vida cotidiana de este tipo de función. 

VÍDEO 1: La recta.

VÍDEO 2: Un problema de aplicación.

En el tercer vídeo trabajamos cinco ejercicios sobre los contenidos básicos que debemos manejar sobre rectas.

VÍDEO 3: Ejercicios y problemas básicos con rectas.

En los enlaces siguientes tenéis una hoja de ejercicios para cada curso (3º y 4º de ESO) muy parecidos todos a los ejercicios tratados en el vídeo número tres. Debéis resolverlos en vuestro cuaderno de clase. Luego le hacéis una fotografía y la enviáis al correo electrónico que todos tenéis y que os he proporcionado para esto.

Para descargar las relaciones de ejercicios debéis pinchar sobre los enlaces con el botón izquierdo del ratón. El plazo de entrega termina el viernes 17 de abril de 2020.

HOJA DE EJERCICIOS (3º ESO)   (<-- pinchar aquí con el botón izquierdo del ratón)

HOJA DE EJERCICIOS (4º ESO)   (<-- pinchar aquí con el botón izquierdo del ratón)

Ánimo a todos y buena semana de trabajo.

NOTA: En esta entrada del blog han aparecido ejercicios nuevos que no habíamos trabajado en clase (vídeo 3) y a partir de ahora esto ocurrirá en cada nueva entrada que se publique. Os animo a todos a que no dejéis trabajo sin entregar porque penséis que lo habéis hecho mal o que no sabéis hacer los ejercicios y problemas. Podéis preguntar dudas a través del correo electrónico o en los comentarios del blog.

Matemáticas Aplicadas 3º y 4º ESO: FUNCIONES (1ª PARTE)

TRABAJO PARA LA SEMANA

DEL 30 DE MARZO AL 3 DE ABRIL DE 2020

Tanto en 3º como en 4º de ESO de Matemáticas Aplicadas empezamos a ver el tema de funciones antes de que las clases se cortaran de forma presencial. Os adjunto aquí un par de vídeos explicativos del concepto de función y sus elementos para que recordéis lo último que vimos en clase. Después, al final, adjunto las relaciones de ejercicios que tenéis que hacer para esta semana.

VÍDEO 1: Concepto de función.

VÍDEO 2: Elementos de una función.

EJERCICIOS: Basándonos en estos conceptos que hemos recordado con los vídeos anteriores podéis trabajar los ejercicios que aparecen en los siguientes documentos pdf que podéis ver sin más que pinchar sobre ellos con el ratón. Hay una relación de ejercicios para 4º de ESO y otra para 3º de ESO. El plazo para entregar estos ejercicios es hasta el viernes 3 de abril de 2020.

EJERCICIOS 3º ESO (<-- pinchar con el ratón ahí)

EJERCICIOS 4º ESO  (<-- pinchar con el ratón ahí)                    

Buenas semana a todos. Ánimo.

Cifrado César

El cifrado es una técnica utilizada para encriptar un mensaje de forma que únicamente el receptor deseado sea capaz de entenderlo. El cifrado del que vamos a hablar en esta entrada recibe el nombre de "cifrado César" porque era utilizado por el emperador romano Julio César para comunicarse con sus oficiales de forma segura.

Consiste en sustituir cada letra del mensaje que se pretende transmitir por aquella que se encuentra $n$ posiciones más hacia delante o hacia atrás en el alfabeto. Si, por ejemplo, $n=2$, la letra $A$ se sustituirá por la $C$, la $B$ por la $D$ y así sucesivamente. Si la letra es la $Z$, entonces se comenzará de nuevo el alfabeto y será sustituida por la $B$. Así, por ejemplo, la palabra "ZEN" pasaría a encriptarse como "BGO".  Los espacios en blanco de una frase no se tienen en cuenta en la encriptación. 

En este tipo de cifrado, el proceso general que consiste en sustituir una letra por otra que está un número de posiciones, $n$, más adelante en el alfabeto recibe el nombre de "algoritmo". El número $n$ concreto que se utiliza para singularizar el algoritmo recibe el nombre de "clave". Es evidente que conociendo el algoritmo y la clave se puede descifrar un mensaje encriptado.

Las funciones del cifrado César

Para matematizar este cifrado, asignamos a cada letra un número que consiste en su posición en el alfabeto. En el alfabeto castellano tenemos 27 posiciones. Si $x$ es la posición de la letra que queremos cifrar, la función $f$ que nos da la posición de la nueva letra en la que se va a convertir viene dada por la fórmula:

$f(x)=(x+n)\,mod\, p$

donde: 

1. $p$ es el número de letras del alfabeto a usar. En nuestro caso, $p=27$.
2. $x$ es el número asociado a la letra (1 para la $A$, 2 para la $B$, etc).
3. $n$ es la clave. Por ejemplo podría ser $2$ como en el ejemplo de arriba.
4. La expresión $a \, mod \, b $ se usa para indicar que se toma el resto de dividir $a$ por $b$.

Por ejemplo, si nuestra clave fuera $n=4$, tendríamos que la letra $A$ que tiene asociada la posición 1, pasaría a tener la posición $f(1)=(1+4)\, mod\, 27=5$ (resto de dividir 5 entre 27). La posición 5 se corresponde con la letra $E$, por lo que en cualquier mensaje que queramos cifrar cambiaremos la letra $A$ por la letra $E$.

Cuando recibamos el mensaje y queramos descifrarlo habrá que utilizar la fórmula inversa a la anterior:

$g(x)=(x-n)\,mod\, p$

Es decir, puesto que $n=4$ y $E$ está en la posición 5, tenemos que $g(5)=(5-4)\,mod\, 27=1$ y 1 es la posición de la letra $A$.

Preguntas

Consideremos la función de cifrado

$f(x)=(x+6)\,mod\, 27$

1.- Usando $f$, codifica la frase: "La suerte está echada". 

2.- Usando la inversa de $f$, decodifica la frase: "bñskbñebksiñ".

3.- ¿Sabrías explicar por qué es necesario el uso del resto ($mod$) en la fórmula de $f$?

4.- Busca en internet a quién se le atribuye las frases anteriores y en qué circunstancias.

5.- Busca una frase de un personaje histórico que te guste y codifícala usando $f$.

Círculos de área máxima (4º ESO op. B)

Supongamos que tenemos una cuerda de 8 metros y sujetamos los dos extremos al suelo con estacas de forma que quede tirante, formado un segmento. Ahora queremos cortar la cuerda por un punto de forma que atando una tiza a cada uno de los extremos que queden libres podamos, usando las estacas y los trozos de cuerda a modo de compás, dibujar dos circunferencias de tiza en el suelo.

¿Por dónde tendremos que cortar la cuerda  para que la suma de las áreas de los dos círculos de tiza sea la menor posible? 

IDEAS:

1. Observa que las circunferencias de tiza son tangentes precisamente en el punto donde cortamos la cuerda. Esto significa que los radios $x$ e $y$ de ambas circunferencia suman...
2. ¿Cuál sería el área de la circunferencia de radio $x$? ¿Y la de radio $y$? Internet puede ayudarte si no recuerdas la fórmula del área de un círculo.
3. ¿Podrías poner la suma de las dos áreas que has hallado en el apartado 2 en función de una sola variable ($x$ ó $y$)? Para ello utiliza el apartado 1.
4. Si consigues terminar el apartado 3, ¿puedes decir, sin representarla, que tipo de gráfica tiene asociada la función área? Si ya lo sabes, también sabrás dónde se encuentra el mínimo de esta función... ¡Calcúlalo!

Ánimo y suerte.

El punto de no retorno (4º op. B)

¿Habéis oído hablar alguna vez del punto de "no retorno"?

Veamos que significa con un ejemplo. Supongamos que tenemos un

avión que vuela desde una ciudad A (pongamos Madrid) a una ciudad B (pongamos Lima). El punto de no retorno es la máxima distancia a la que se puede viajar con la seguridad de tener el suficiente combustible para volver. Es decir, pasado ese punto, si hay algún problema en el avión no se podría dar la vuelta para volver a la ciudad A (Madrid) pues no llegaríamos por falta de combustible. Así que pasado el punto de no retorno, si hay algún problema más nos vale haber escuchado bien las instrucciones que los auxiliares de vuelo dan al principio sobre el uso de la mascarilla y el chaleco salvavidas. Aún así... :(

Supongamos que un avión tiene combustible para 4 horas de vuelo siempre que viaje a una velocidad constante de 250 Km/h sin viento.

Al despegar el piloto observa que lleva viento a favor de 80 km/h. ¿Cuál es la máxima distancia a la que puede volar con la seguridad de tener suficiente combustible para volver? 

IDEAS:

a) ¿Cuál es la velocidad de ida del avión con ese viento?

b) ¿Cuál sería la velocidad de vuelta que llevaría con ese viento?

c) Teniendo en cuenta lo que hayas obtenido en los apartados anteriores, puedes hallar las funciones del tiempo que dan la distancia al aeropuerto de partida dependiendo de si vamos de ida o de vuelta.

d) Con esas funciones a la vista, ¿Cuál sería el punto de no retorno?

PARA NOTA:

e) Si la velocidad del viento no fuera constante (100 Km/h); es decir, fuera variable, ¿en qué curva estarían los puntos de no retorno? ¿Qué tipo de curva es?

Musicales (4º op. B)

Si habéis estado alguna vez en Londres sabréis de la gran tradición que allí existe de representar musicales. Lo que sigue podría ser un ejemplo con dos de los musicales más famosos de la historia y que más tiempo se han mantenido en cartelera.

En un teatro de Londres con 650 localidades se ha representado el musical de "Los miserables" durante dos meses y el precio de las entradas era de 12 euros. Después se representó "El fantasma de la ópera", a 13,20 euros la entrada, para lo cual se desarrollaron nuevos efectos especiales que hicieron que fuera necesario ampliar el escenario y se eliminaron para ello 50 localidades.

a) ¿Qué recaudación se tendría con una representación de "Los miserables" si asistieran 632 espectadores? ¿Y con una representación de "El fantasma de la ópera"?

b) ¿Podrías hallar la función que nos facilitaría el calculo de la recaudación de las  representaciones de cada musical según el número de entradas vendidas? Si lo consigues represéntalas e indica cuál es su dominio y su recorrido.

c) ¿Sabrías calcular el número de espectadores que han asistido una noche a "Los miserables" si se han recaudado 6.600 euros? ¿Y en el caso de "El fantasma de la ópera" si se ha recaudado la misma cantidad?

d) ¿Qué precio le pondrías tú a las entradas de "El fantasma de la ópera" para que coincidiera la recaudación de los dos musicales si se vendieran todas las entradas?

Ya sabéis. Registrarlo en vuestro cuaderno como actividad de ampliación en la parte del tema de funciones para que lo pueda corregir cuando revise esa parte de vuestro cuaderno. Ánimo.