Musicales (4º op. B)

Si habéis estado alguna vez en Londres sabréis de la gran tradición que allí existe de representar musicales. Lo que sigue podría ser un ejemplo con dos de los musicales más famosos de la historia y que más tiempo se han mantenido en cartelera.

En un teatro de Londres con 650 localidades se ha representado el musical de "Los miserables" durante dos meses y el precio de las entradas era de 12 euros. Después se representó "El fantasma de la ópera", a 13,20 euros la entrada, para lo cual se desarrollaron nuevos efectos especiales que hicieron que fuera necesario ampliar el escenario y se eliminaron para ello 50 localidades.

a) ¿Qué recaudación se tendría con una representación de "Los miserables" si asistieran 632 espectadores? ¿Y con una representación de "El fantasma de la ópera"?

b) ¿Podrías hallar la función que nos facilitaría el calculo de la recaudación de las  representaciones de cada musical según el número de entradas vendidas? Si lo consigues represéntalas e indica cuál es su dominio y su recorrido.

c) ¿Sabrías calcular el número de espectadores que han asistido una noche a "Los miserables" si se han recaudado 6.600 euros? ¿Y en el caso de "El fantasma de la ópera" si se ha recaudado la misma cantidad?

d) ¿Qué precio le pondrías tú a las entradas de "El fantasma de la ópera" para que coincidiera la recaudación de los dos musicales si se vendieran todas las entradas?

Ya sabéis. Registrarlo en vuestro cuaderno como actividad de ampliación en la parte del tema de funciones para que lo pueda corregir cuando revise esa parte de vuestro cuaderno. Ánimo.

El álgebra que se esconde en los folios (4º op. B)

El Instituto Alemán de Normalización fijó hace 100 años el tamaño estándar de los papeles que utilizamos hoy en día para los distintos tipos de folios o pósters. Estos tamaños de papel rectangular reciben distintos nombres que seguro que os suenan: DIN A0, DIN A1, DIN A2, DIN A3, DIN A4, DIN A5, etc...

DIN es la marca empresarial del instituto y se piensa que significa "Das Ist Norm"; algo así como "esta es la norma" en alemán.

La hoja de papel más grande es la de tamaño A0. Si el lado menor de un rectángulo A0 se coloca como base y se divide este papel en dos partes iguales, cortando por la línea paralela a la base que pasa por el punto medio de cualquiera de las alturas, obtenemos dos rectángulos de tamaño A1. Repitiendo el mismo proceso que con un A0 con uno de los A1, obtenemos dos papeles rectangulares de tamaño A2. Procediendo de esta forma salen todos los tamaños mencionados en el párrafo de la introducción.

La siguiente imagen ilustra el proceso descrito en el párrafo anterior.

Imagen obtenida de la web http://www.liberopublishing.com/

Problema:

1.- Si el lado pequeño de un A0 es $x$ y su altura es $\sqrt{2}$, ¿podrías expresar su diagonal en función de  $x$? 

2.- ¿Cómo se llama la expresión algebraica resultante? Indentifica sus elementos.

3.- ¿Podrías calcular en función de $x$ la diagonal de un A1? ¿y un A2? ¿y un A3?

4.- A la luz de los resultados anteriores, ¿te atreverías a pronosticar (sin hacer ninguna cuenta) cuál es la diagonal de un A4 en función de $x$?

5.- Si $x=84 \, cm$, ¿qué tendrías que hacer para calcular el valor exacto de la diagonal de un folio de cualquiera de los tamaños? Explícalo con palabras.

6.- Aplica el procedimiento que tu mismo has deducido en el apartado 5 para hallar el valor exacto de la diagonal de un folio A4. Toma para ello un valor de $\sqrt{2}$ aproximado a la milésima por redondeo.

NOTA: Durante todo el problema $x$ es lo que mide el lado pequeño de un papel tamaño A0.

¿Alguien se atreve?

Una de logaritmos (4º op. B)

Ayer planteamos en clase un problema que nadie resolvió en su momento. Rescato aquí ahora el mismo ejercicio como actividad complementaria a entregar antes del control del tema 1.

Problema:

Supongamos que estamos trabajando con los logaritmos y la calculadora deja de funcionarnos. Antes de que ocurriera esto, apuntamos en nuestro cuaderno que $\log 2=0,301$. Con este dato, calcula:

a)  $\log 5$  

Una vez tengamos el resultado de a), ¿podrías calcular los siguientes apartados?

b) $\log 0,0625$      c) $\log_5 4$

Por supuesto, puedes usar la calculadora para comprobar que los resultados que obtienes son correctos.

Ánimo y a trabajar.

Un juego planteado a Pascal (Competencias 3a-V)

Antonie Gombaud (1607-1684) más conocido como el Caballero De Méré, asiduo de los juegos de azar, le planteó (en 1654)  a Blaise Pascal (1623-1662) varios problemas relacionados con apuestas en sus juegos. Pascal, a su vez, le solía comunicar estos problemas por carta a Pierre de Fermat (1601-1665). En la correspondencia que mantuvieron estos dos matemáticos, comentando las posibles soluciones a estos problemas, aparecen los fundamentos del cálculo de probabilidades tal y como lo hemos visto en las clases de esta unidad.

En concreto uno de los problemas más sencillos en los que trabajaron, tal y como estaba escrito en una carta de Pascal, es el siguiente:

Problema: Deseo averiguar si es o no ventajoso jugar apostando cantidades iguales a que por lo menos aparece un 6 en cuatro tiradas de un dado.

Pascal y Fermat resolvieron el problema. ¿Podrías resolverlo tú? ¿Qué aconsejarías al Caballero De Meré?

Producto de números (Competencias 3a-IV)

En 1856 Alejandro Cossar publicó un libro en el que se recogían unas tablas con "los cuadrados de los números del 1 al 1.000 millones, con ayuda de la cual se halla el producto exacto de números...". Y se puede pensar, ¿para qué tanto cuadrado?

Hoy en día lo tenemos muy fácil; basta usar una calculadora o un ordenador para obtener inmediatamente el producto de dos números. Pero en la época de la publicación del libro que hemos comentado, estas comodidades no existían. Por lo tanto había que ingeniárselas para hacer los cálculos de la forma más rápida y precisa posible. Y para esto último estaba escrito el libro de Cossar, ya que utilizaba los cuadrados según la siguiente fórmula:

$$ a\cdot b=\frac{(a+b)^2-(a-b)^2}{4}\quad (I)$$

Así, si nos piden multiplicar $57.839\cdot 8.756$ y no tenemos calculadora pero sí la tabla de cuadrados, basta aplicar la fórmula anterior para $a=57.839$ y $b=8.756$. Entonces,

$a+b=66.596,\quad a-b=49.083$

Así, si miramos en el libro los cuadrados, tenemos que

$66.596^2=4.434.894.025,\quad 49.083^2=2.409.140.889$

Restando ambos números y dividiendo por 4 (según la fórmula (I)) obtenemos

$57.839\cdot 8.756=506.438.284$

siendo este proceso  más rápido que multiplicar ambos números por el algoritmo de multiplicación habitual.

PROBLEMA: 

1) Practica con la fórmula con ejemplos que tú mismo te pongas.

2) Demuestra que la fórmula (I) es correcta para cualesquiera dos números $a,b\in \mathbb{R}$.

Podéis entregar la solución de este problema en clase y obtendréis una nota más a contar para la evaluación del segundo trimestre.

Saludos cordiales.

Continentes (Competencias 1b-II).

Para los alumnos de 1º de ESO B.

Los alumnos que me entreguen resuelto el siguiente problema, tendrán una nota más de clase a contar en la evaluación del segundo trimestre.

PROBLEMA:

Sabemos que las cuatro quintas partes de la superficie del planeta Tierra están cubiertas de agua:

1.- ¿Qué parte de la superficie terrestre no está cubierta de agua?

2.- Sabemos que los distintos continentes ocupan la siguiente superficie en kilómetros cuadrados:

• África  30.000.000 
• América 42.000.000
• Antártida 12.500.000
• Eurasia 55.000.000
• Oceanía 7.500.000

Elige de entre las siguientes fracciones de la superficie terrestre que no está cubierta por agua cuál corresponde "aproximadamente" con cada continente: 

$$\frac{2}{5},\; \frac{1}{5}, \; \frac{1}{6},\; \frac{1}{18},\; \frac{1}{12}$$

3.- Suma todas las fracciones anteriores. ¿Por qué el resultado es menor que 1?

4.- Si la superficie terrestre es de 510.000.000 kilómetros cuadrados. ¿Qué fracción de esta superficie ocupa África? ¿Y Oceanía?

Recordad que se valorará una buena presentación y una exposición razonada de las soluciones que propongáis.

Saludos.

La ecuación de segundo grado (competencias 3a-III)

Para los alumnos de 3º de ESO A.

Ahora que estamos en el segundo ciclo de la secundaria es el momento de preguntarnos de dónde sale la fórmula que utilizamos para resolver las ecuaciones de segundo grado que conocemos desde el curso de segundo de ESO.

BÚSQUEDA WEB:

Consideremos una ecuación general de segundo grado:

$$ax^2+bx+c=0$$

Entonces las soluciones $x_1$ y $x_2$ vienen dadas por las fórmulas siguientes:

$$x_1=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}, \, x_2=\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$

¿Podrías buscar en internet el por qué de estás fórmulas?

PISTA:  Hay que utilizar la fórmula de un producto notable.

¡Buena búsqueda! Nos vemos en clase el lunes.