Producto de números (Competencias 3a-IV)

En 1856 Alejandro Cossar publicó un libro en el que se recogían unas tablas con "los cuadrados de los números del 1 al 1.000 millones, con ayuda de la cual se halla el producto exacto de números...". Y se puede pensar, ¿para qué tanto cuadrado?

Hoy en día lo tenemos muy fácil; basta usar una calculadora o un ordenador para obtener inmediatamente el producto de dos números. Pero en la época de la publicación del libro que hemos comentado, estas comodidades no existían. Por lo tanto había que ingeniárselas para hacer los cálculos de la forma más rápida y precisa posible. Y para esto último estaba escrito el libro de Cossar, ya que utilizaba los cuadrados según la siguiente fórmula:

$$ a\cdot b=\frac{(a+b)^2-(a-b)^2}{4}\quad (I)$$

Así, si nos piden multiplicar $57.839\cdot 8.756$ y no tenemos calculadora pero sí la tabla de cuadrados, basta aplicar la fórmula anterior para $a=57.839$ y $b=8.756$. Entonces,

$a+b=66.596,\quad a-b=49.083$

Así, si miramos en el libro los cuadrados, tenemos que

$66.596^2=4.434.894.025,\quad 49.083^2=2.409.140.889$

Restando ambos números y dividiendo por 4 (según la fórmula (I)) obtenemos

$57.839\cdot 8.756=506.438.284$

siendo este proceso  más rápido que multiplicar ambos números por el algoritmo de multiplicación habitual.

PROBLEMA: 

1) Practica con la fórmula con ejemplos que tú mismo te pongas.

2) Demuestra que la fórmula (I) es correcta para cualesquiera dos números $a,b\in \mathbb{R}$.

Podéis entregar la solución de este problema en clase y obtendréis una nota más a contar para la evaluación del segundo trimestre.

Saludos cordiales.

Continentes (Competencias 1b-II).

Para los alumnos de 1º de ESO B.

Los alumnos que me entreguen resuelto el siguiente problema, tendrán una nota más de clase a contar en la evaluación del segundo trimestre.

PROBLEMA:

Sabemos que las cuatro quintas partes de la superficie del planeta Tierra están cubiertas de agua:

1.- ¿Qué parte de la superficie terrestre no está cubierta de agua?

2.- Sabemos que los distintos continentes ocupan la siguiente superficie en kilómetros cuadrados:

• África  30.000.000 
• América 42.000.000
• Antártida 12.500.000
• Eurasia 55.000.000
• Oceanía 7.500.000

Elige de entre las siguientes fracciones de la superficie terrestre que no está cubierta por agua cuál corresponde "aproximadamente" con cada continente: 

$$\frac{2}{5},\; \frac{1}{5}, \; \frac{1}{6},\; \frac{1}{18},\; \frac{1}{12}$$

3.- Suma todas las fracciones anteriores. ¿Por qué el resultado es menor que 1?

4.- Si la superficie terrestre es de 510.000.000 kilómetros cuadrados. ¿Qué fracción de esta superficie ocupa África? ¿Y Oceanía?

Recordad que se valorará una buena presentación y una exposición razonada de las soluciones que propongáis.

Saludos.

La ecuación de segundo grado (competencias 3a-III)

Para los alumnos de 3º de ESO A.

Ahora que estamos en el segundo ciclo de la secundaria es el momento de preguntarnos de dónde sale la fórmula que utilizamos para resolver las ecuaciones de segundo grado que conocemos desde el curso de segundo de ESO.

BÚSQUEDA WEB:

Consideremos una ecuación general de segundo grado:

$$ax^2+bx+c=0$$

Entonces las soluciones $x_1$ y $x_2$ vienen dadas por las fórmulas siguientes:

$$x_1=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}, \, x_2=\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$

¿Podrías buscar en internet el por qué de estás fórmulas?

PISTA:  Hay que utilizar la fórmula de un producto notable.

¡Buena búsqueda! Nos vemos en clase el lunes.